高数
本文最后更新于：2022年10月13日 下午
高数
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高数
一、第一讲-函数
1.函数性质：单调、有界、奇偶、周期
2.指数对数运算法则，因式分解公式、常用不等式
- 看见对数和分数，想着把幂次提出来！尤其是分数。
- $ln(1+\frac{1}{x})=ln(x+1)-ln(x)$，想中值定理。
3.特殊画图:用直角坐标观点画极坐标系的图形
极坐标—-心形线（外摆线） $r=a(1-cos\theta),(a>0)$，
- 玫瑰线 $r=asin(3\theta),(a>0)$ ，
- 阿基米德螺线 $r=a\theta,(\theta >0,a\ge 0)$ ，
- 伯努利双纽线。定义：$MA\times MB=a^2$，$r^2=a^2cos(2\theta)$，换成sin旋转45度
参数方程—-摆线
- 星形线（内摆线） ， $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$。
4.反函数：
- 严格单调函数必有反函数（反过来不行，举例：分段）。
- $y=ln(x+\sqrt{x^2+1})$它是个奇函数，导数是$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (包括反向积回去)。 反双曲正弦。
- 1是$a^2$，可以带入公式
- $\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 下面是加，上面是平方项 看见这样的就想反解！
- 求反函数：$e^y=\sqrt{x^2+1}+x$， $e^{-y}=\sqrt{x^2+1}-x$， $x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$（经典奇函数，双曲正弦）。
- 它的泰勒展开式特别有意思！
- 它的泰勒展开式特别有意思！
- $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ 悬链线，偶函数，双曲余弦
5.函数四种基本特性
- 单调
- 谈有界性必须指明区间
- 见到根号求最值，用平方，
- 函数单调的定义法
- 奇偶
- 例：
- 基本性质：
- 重要结论：
- 例：
6.基本函数
- 看见 $u^v$ 换成 $e^{vln(u)}$ 来运算。
- arcsin是$-\frac{\pi}{2}\sim\frac{\pi}{2}$变换而来的，arccos是$0\sim\pi$变换而来的。
- $arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi}{2},(-1\le x\le 1)$，求导为0，值是常数。$f’(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$。$f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$，说明值为常数。图是对称往上翘的
- $arctan(x)+arccot(x)=\frac{\pi}{2},(-\infty\le x\le \infty)$。$f’(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+x^2}=0$。图是对称往下栽歪的。
- [x]，不超过x的最大整数。$x-1<[x]\le x$。严格大于它减一 $\lim_{x \to 0^+}[x]=0，\lim_{x \to 0^-}[x]=-1$。
7.中学基础知识
- 等比数列： 特殊：当$|r|<1,\lim_{n\to\infty}\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{1}{1-r}$
- 常用求和公式
- 常用求和公式
- 三角函数基本公式
- 诱导公式
- 倍角公式
- 和差化积
- 万能公式
- 诱导公式
- 基本不等式
二、第二讲-数列极限
1.定义
- 极限定义步骤：先用通项和极限值写出距离表达式，通过$\varepsilon$ 反解出n，取N=取整加一。
- 例题：当$\lim\limits_{n\to\infty}A_n\to A，则\lim\limits_{n\to\infty}|A_n|\to |A|$。反之不成立。当A=0，反之成立。
- 数列收敛，其任何一个子数列收敛（它的逆否命题经常用）。两个子数列不收敛到同一个数。
2.性质
- 唯一性、有界性
- 保号性。推论：数列$\{a_n\}$从某项起$a_n>0$且$a_n$极限为A，则$A\ge 0$。“即使通项大于0，极限也有可能是0”
- $a_n\ge 0$也行。$\le 0$同理。
- 加减乘除的极限是极限的加减乘除。但不能直接拆！极限不一定存在！
- 夹逼准则不验证等号。
- 看见一串长得差不多的，想夹逼
- 只动分母，不动分子
- 单调有界准则：单调有界数列必有极限（魏尔斯特拉斯定理）
三、函数极限
1.定义和性质
- 极限存在充要条件：左右极限都存在且相等
- 减去极限值得到的函数，其极限为无穷小量（接近0）
- 性质
- 唯一性。不唯一的不叫极限，是极限不存在
- 局部有界性。局部！范围之外的地方不一定
- 局部保号性。邻域里才保号
- 推论：戴帽法，即使函数大于0，极限也有可能得0
- 概念：$+\infty$ 在==考研数学里规定为不存在==，但它不叫“不存在”
- 极限存在必有界，充分不必要。
- 有界函数和有界函数的和差积还是有界的。（有限个）
- $f’(x)在(a,b)$内有界，则$f(x)$在此区间内有界（用拉格朗日证）（有限区间，不是无穷区间）
- 区间内函数有界的证法：
- $e^u,|u|,arctan(u),[u]$ 这四种看见就想分类讨论
2.七种未定式计算：
夹逼准则
- 两边作差极限为0不代表中间极限存在，因为不能保证两边各自都有极限
洛必达法则
$\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}$，上下都可导，上下求导极限为A或$\infty$。（第三条不满足不能用），比如导完极限不存在
分子简单分母复杂、次数底下高—-洛必达越用越复杂！
- 等价无穷小替换时候，长得更基本的那个才能换
泰勒公式
公式
$x \to 0$时，
- 奇函数展开没有偶次项
- 偶函数展开没有奇次项
展开原则
- 若函数$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$上具有(n+1)阶的导数，那么对于任一$x\epsilon(a,b)$，有
$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f’(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f’’(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+…+\frac{f^n(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
- 若函数$f(x)$在包含$x_0$的某个开区间$(a,b)$上具有(n+1)阶的导数，那么对于任一$x\epsilon(a,b)$，有
例题：求$\lim\limits_{x\to 0}e^{tanx}-e^x$的阶数
原式=$\lim_{x\to 0}e^x(e^{tanx-x}-1)\sim 1\times(tanx-x)\sim \frac{x^3}{3}$
归结原则（海涅定理）
反着考证明
例题：求证$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}sin(\frac{1}{x})$不存在。
取$x_n=\frac{1}{n\pi},n\to\infty,\lim\limits_{x\to\infty}f(x_n)=0$，
取$x_n=\frac{1}{(2n+\frac{1}{2})\pi},n\to\infty,\lim\limits_{x\to\infty}f(x_n)=\infty$。
正着考计算
看见$u^v$的极限都改成$e^{vln(u)}$来计算，也就是$e^{v(u-1)}$
趋于$\infty$的看看是不是要变换成趋于0来计算
例题：求$\lim\limits_{n\to\infty}(ntan\frac{1}{n})^{n^2},n\epsilon N^+$
取$x_n=\frac{1}{n}$，由归结原则，原式为 $\lim\limits_{x\to 0}(\frac{tanx}{x})^{\frac{1}{n^2}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{n^2}\frac{tanx-x}{x}}=e^{\frac{1}{3}}$
无穷小比阶
低阶吸收高阶
例题：$\lim\limits_{x\to 0}\frac{sin^2x-x^2}{e^{x^4}-1}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{(sinx+x)(six-x)}{x^4}=-\frac{1}{3}$
| $e^x-1 \sim x$ | $\ln(1+x) \sim x$ |
|---|---|
| $\sin{x} \sim x$ | $x - \sin{x} \sim \frac{1}{6}x^3$ |
| $\arcsin{x} \sim x$ | $x - \arcsin{x} \sim -\frac{1}{6}x^3 $ |
| $\tan{x} \sim x$ | $x - \tan{x} \sim -\frac{1}{3}x^3$ |
| $\arctan{x} \sim x$ | $x - \arctan{x} \sim \frac{1}{3}x^3$ |
| $1-\cos{x} \sim \frac{1}{2}x^2$ | $x^2-sin^2{x} \sim \frac{1}{3}x^4$ |
| $(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x$ | $x+\sin{x} \sim 2x$ |
两个无穷小相除求极限，为非1常数—-同阶无穷小；为1—-等价无穷小。
3.连续与间断
- 第一类
- 可去：极限和函数值都有，但不相等，或者点没定义
- 跳跃：左右极限存在但不相等
- 可去：极限和函数值都有，但不相等，或者点没定义
- 第二类
- 无穷：两遍极限都是无穷大
- 振荡：极限值振荡不存在，例如 $\lim\limits_{x\to 0}sin(\frac{1}{x})$
- 有双侧定义才讨论间断点
四、导数
1.概念
存在原函数的函数未必可积！需要f连续才行
可导->连续。连续->可积。连续->存在原函数。存在原函数+有限个第一类间断点->可积
导数：导数存在$\iff$左右导都存在且相等
证明：偶函数的导数是奇函数
$f’(-x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(-x+\Delta x)-f(-x)}{\Delta x}=-\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+(-\Delta x))-f(x)}{-\Delta x}=-f’(x)$
- 没有形式的时候自己凑形式，尤其是凑定义，或者已知条件
例题：
$\lim\limits_{x\to 1}{\frac{f(x)}{x-1}}=2\Longrightarrow f(1)=0,f’(1)=2$
- 看见这种形式直接这么想
微分：线性主部(微分)+误差
如果x在$x_0$可微，那么可以用这一点切线近似代替曲线
2.计算
分段：分段点用定义正负来求，非分段点用求导公式
复合
- $df(💩)=f’(💩)d(💩)$ 一阶微分形式不变性
- 分段的复合函数求导不一定要写出来解析式，可以使用链式求导规则，直接代值进去
反函数
。。 
参数方程 ：t也是x的函数，求二阶导需要考虑复合求导
- 二阶导公式=$\frac{y’’_tx’_t-x’’_ty’_t}{(x’_t)^3}$，有隐函数和具体点时候直接用公式比较方便
隐函数
公式推导
例：求$sin(xy)=ln(\frac{x+e}{y})+1$ 在$x=0$时的导数
y要当作x的函数来对待，需要复合求导
对数：幂次特别复杂的用对数拆开
高阶导数
- 泰勒公式展开对比次数对应的系数
- 泰勒公式展开对比次数对应的系数
变上限积分
$\begin{cases}(\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(t)dt)’&=f(\psi(x))\psi’(x)-f(\phi(x))\phi’(x)\\ (\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}f(x,t)dt)’&=\int_{\phi(x)}^{\psi(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt+f(\psi(x))\psi’(x)-f(\phi(x))\phi’(x)\\ (\int_a^bf(x,t)dt)’&=\int_a^b\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt \end{cases}$
例题：
五、导数几何应用
1.极值与最值
- 考研中无特殊说明，极值为广义极值
- 极值定义中需要邻域，因此单侧点不考虑
2.单调性、极值判别
- 单调性判别
极值必要条件
- （费马定理）：$x=x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则必有$f’(x_0)=0$。
==联系$f$与$f’$，立即想到拉格朗日！！==
- 三个充分条件
- 在某点连续（不需要可导），去心邻域内可导，左右导数正负决定是什么极值点
- 二阶可导，$f’(x)=0,f’’(x)\neq 0$，必为极值点
- n阶可导，最高阶不得0的导数是偶数阶导数，必为极值点
3.凹凸性与拐点
- 凹凸性判别
判拐点必要条件
- ==注：==拐点是凹凸分界点，无需可导，只要连续。拐点是曲线上一点，而极值点在定义域上，写作$x_0$
- 二阶导存在，且这点是拐点，那么二阶导为0
三个充分条件
- 某点处连续，邻域内二阶导存在，二阶导变号，拐点存在
- 邻域内三阶可导，二阶导为0，三阶导不为0，拐点存在
- n阶可导，从二阶开始都是0，但n阶不是0，n是奇数，拐点存在
4.渐近线
铅锤：
- 一般是无定义点
- 不要求端点！而间断点要求区间！
水平：和斜渐近线不会在同一方向上共同存在
- 斜渐近线：$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=k$，$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)-kx=b$ 。太快太慢的函数都不会有斜渐近线
5.最值或取值范围
闭区间
- 闭区间连续函数必有最值
开区间
- 求出可疑点函数值和两端单侧极限，比较
六、中值定理
介值定理
- 闭区间是重要信号，因为不能排除 $\xi$ 取在边界上
平均值定理
- 见到函数值加加加，想到用平均值除下去
费马定理
- 一阶可导，取极值，则一阶导为0
- 证明：连续可导函数，导数不得0，则导数保号。（用导数零点定理反证）（达布定理）
罗尔定理
- 闭区间连续开区间可导，端点值相等，开区间内存在一点使导数为0
- 常用乘积导数公式的逆用来构造辅助函数$\begin{cases}[f\times f]’&=2f\times f’\\ [f\times f’]’&=(f’)^2+f\times f’’\\ [f\times e^g]’&=e^g\times[f’+f\times g’] \end{cases}$
- 构造辅助函数 $F(x)$
- 求导公式 $(u \cdot v)’ = u’v+uv’$ 逆用
- 见 $F’(\xi)=f’(\xi)\cdot \xi+f(\xi)=0$，构造 $F(x)=f(x)x$
- 见 $F’(\xi)=[f’(\xi)+f(\xi)]e^{\xi}=0$，构造 $F(x)=f(x) e^x$
- 见 $F’(\xi)=[f’(\xi)+f(\xi) \varphi’(\xi)] e^{\varphi(\xi)}=0$，构造 $F(x)=f(x) e^{\varphi(x)}$
- 见 $F’(\xi)=f’’(x)+g(x)f’(x)=0$,构造 $F(x)=f’(x) e^{\int g(x)\text{d}x}$
- 见 $F’(\xi)=f(x)+g(x) \int_0^x f(t)\text{d}t =0$，构造 $F(x)=\int_0^x f(t)\text{d}t \cdot e^{\int g(x) \text{d}x}$
- 见 $F’(\xi)=f’(x)+g(x)[f(x)-1]=0$，构造 $F(x)=[f(x)-1] \cdot e^{\int g(x)\text{d}x}$
- 积分还原法
- 将欲证结论中的 $\xi$ 改为 $x$
- 积分之（为了简单，令 $c=0$）
- 移项使等式一端为0，另一端记为 $F(x)$
- 求导公式 $(u \cdot v)’ = u’v+uv’$ 逆用
拉格朗日中值定理
- 常见形式 $\begin{cases}f-f\\ f \text{与} f’ \end{cases}$ ，0和1可以用来构造
- 证闭区间用积分中值定理，证开区间用拉格朗日
柯西中值定理 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},g’\neq0$
- 取$g(x)=x$，退化为拉格朗日
泰勒公式
- 证明极大值时候也可以用泰勒公式拆开，看最高阶的正负号来比大小。余项不影响大局
- 中值是端点的函数，不是常数，$f’(\xi)$不能往外提
- 串联关系
积分中值定理
- $\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)(b-a)$，把积分转换为函数，$\xi$在ab之间
七、零点问题与微分不等式
1.零点问题
- 罗尔原话：n阶导数至多k个根，则函数至多k+n个根
- 实系数奇次方程至少有一个实根
- 判断函数根的个数可以从导数根的个数入手
2.微分不等式
用函数性态证明不等式：函数画图讨论
用常数变量化证明不等式：把一个常量设为变量或换元
用中值定理证明不等式：拉格朗日
八、积分
1.概念
- 不定积分
- 不定积分奇偶性
- 原函数存在定理
- 连续函数必有原函数。
- 含跳跃、可去、无穷间断点的函数无原函数
- 不定积分奇偶性
- 定积分
- 概念：取区间为 $(0,1),\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx$
- 碰见夹逼做不出来的极限可以考虑定积分定义。看n和i是不是齐次的
- 存在定理
- 闭区间连续
- 闭区间单调
- 闭区间有界，有有限个间断点
- 性质
- 积分中值定理，设出原函数用拉格朗日证
- 概念：取区间为 $(0,1),\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}=\int_0^1f(x)dx$
- 反常积分
- 概念理解
- 无穷区间反常积分概念与敛散性
- 无界函数反常积分概念与敛散性
- 判敛
2.计算
1）基本积分公式
$\int x^k\text{d}x = \frac{1}{k+1} x^{k+1} +C \, (k \ne -1)$； $\begin{cases}\int \frac{1}{x^2}\text{d}x&=-\frac{1}{x}+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \text{d}x &= 2\sqrt{x} +C\end{cases}$
$\int \frac{1}{x} \text{d}x = \ln{|x|} + C$
- $[\ln|u(x)|]_x’ = \frac{u_x’}{u(x)}$
$\int a^x \text{d}x = \frac{1}{\ln{a}} a^x+ C$
- $\int e^x \text{d}x = e^x + C$
- $\int \sin{x} \text{d}x = -\cos{x} + C$
- $\int \cos{x} \text{d}x = \sin{x} + C$
- $\int \tan{x} \text{d}x = -\ln{|\cos{x}|} + C$
- $\int \cot{x} \text{d}x = \ln{|\sin{x}|} + C$
- $\int \sec{x} \text{d}x = \ln{|\sec{x}+\tan{x}|} + C$
- $\int \csc{x} \text{d}x = \ln{|\csc{x}-\cot{x}|} + C$
- $\int \sec^2{x} \text{d}x = \tan{x} + C$
- $\int \csc^2{x} \text{d}x = -\cot{x} + C$
- $\int \sec{x}\tan{x} \text{d}x = \sec{x} + C$
- $\int \csc{x}\cot{x} \text{d}x = -\csc{x} + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \text{d}x = \arcsin{x} + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \text{d}x = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} \text{d}x = \ln{(x+\sqrt{x^2+a^2})} + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} \text{d}x = \ln{|x+\sqrt{x^2-a^2}|} + C$
- $\int \frac{1}{1+x^2} \text{d}x = \arctan{x} + C$
- $\int \frac{1}{a^2+x^2} \text{d}x = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}} + C$
- $\int \frac{1}{a^2-x^2} \text{d}x = \frac{1}{2a} \ln{|\frac{a+x}{a-x}|} + C$
- $\int \frac{1}{x^2-a^2} \text{d}x = \frac{1}{2a} \ln{|\frac{x-a}{x+a}|} + C$
- $\int \sqrt{a^2-x^2} \text{d}x = \frac{a^2}{2} \arcsin{\frac{x}{a}} + \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2} + C$
- $\int sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{sin2x}{4}+C$；$sin^2=\frac{1-cos2x}{2}$
- $\int cos^2xdx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C$；$cos^2=\frac{1+cos2x}{2}$
- $\int tan^2xdx=tanx-x+C$；$tan^2=sec^2x-1$
- $\int cot^2xdx=-cotx-x+C$；$cot^2=csc^2x-1$
2）换元法
- 三角代换
（可能需要先恒等变形） - 根号里面没有平方换不了元的，整个令成t
- 分母次数很高，倒代换
- 复杂函数直接代换，比如arcsin
3）分部积分
反对幂指三，越往左越当u，易求导
错位相乘，正负相间
4）有理函数
- 分数形式，没有根号，有理函数形式，上面次数比下面小
- 解待定系数时候不需要硬解，可以设出来一些x值巧妙消掉几个字母
5）定积分
- 区间再现公式：$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$ 。
- 要求函数连续
- 一般是两个加起来好做
- 点火公式: $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x} \mathrm{d}x=\begin{cases}\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} … \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}&,n为偶数(\ge2)\\\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} … \frac{2}{3} \cdot 1&,n为奇数(\ge3)\end{cases}$ 。cos的公式完全一致
- 点火公式有x挡着：$\int_0^{nT}xf(x)dx=\frac{n^2T}{2}\int_0^Tf(x)dx$
- 扩大范围点火公式：$\begin{cases}\int_0^\pi sin^nxdx=2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x}dx\\ \int_0^\pi cos^nxdx=\begin{cases}0&,n为正奇数 \\2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n{x}dx&,n为正偶数\end{cases}\\ \int_0^{2\pi}sin^nxdx=\int_0^{2\pi}cos^nxdx=\begin{cases}0&,n为正奇数 \\4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n{x}dx&,n为正偶数 \end{cases}\end{cases}$
九、积分几何应用
1.平面面积
- 射线旋转出来的面积：$S=\int_\alpha^\beta \frac{1}{2}|r_2^2-r_1^2|d\theta$
- 参数方程算面积，都转换到t，y直接带y(t)，dx化为X’(t)dt。（范围也化成t的范围）
2.旋转体体积
- 绕y旋转用一堆空心圆柱来算
十、积分等式与不等式
- 等式
- 中值定理：
- f,g在$[a,b]$上连续且g不变号，至少存在一点$\xi\in[a,b]$，使得$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx$
- 用柯西中值定理证，设出来变上限积分往里带
- 夹逼准则：见到带极限的积分考虑夹逼。极限和积分号不能轻易换！！！
- 中值定理：
- 不等式
- 函数单调性：上下限都是常数，上限换为x，变上限积分求单调性
- 拉格朗日
- 泰勒公式
- 积分法
例题：
十一、多元函数微分
1.基本概念
- 平面点集
- 内点，聚点（边界点）
可微：$\lim\limits_{\Delta x\to 0,\Delta y\to0}\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$
- 判定定理
- 互推关系
- 判定定理
偏导数连续性：$\lim\limits_{x\to0}f_x’(x,y)=f’_x(0,y)$，y同理
2.多元函数微分法则
链式求导规则
隐函数存在定理（公式法）：$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x’}{F_y’}$
例：已知两个偏导数，求原函数
- 积回去一个，设出来另一个
用设出来的函数再往回积
3.多元函数极值与最值
- 概念
- 无条件极值：先求出可疑点，再求偏导验证
- 必要条件：一阶偏导数存在且为0
- 充分条件：$\Delta=AC-B^2=\begin{cases}>0&极值\begin{cases}A<0&极大值\\A>0&极小值\end{cases}\\<0&非极值\\=0&方法失效，另谋他法\end{cases}$
- 条件极值与拉格朗日乘数法
- 闭区域边界上的最值
- 闭区域上的最值
十二、二重积分
1.概念
- 轮换对称性
2.计算
- 直角坐标系
- 极坐标系：$d\sigma=d\theta \cdot rdr$，别忘了r！！！
- 看有没有$x^2+y^2或者\frac{x}{y}或者\frac{y}{x}$的形式
- 看积分区域是否圆
- 积分次序
- 常见积不出来的函数。调整积分次序
- 常见积不出来的函数。调整积分次序
- 二重积分处理一元积分问题
十三、微分方程
1.概念
通解：解中独立常数的个数等于阶数
特解：通过初始条件确定通解中常数的值
2.一阶求解
变量可分离
- x和y可以完全拆开，则物以类聚，然后两边积分
- 解题过程中可能人为限制了条件，所以通解不一定覆盖全部解，还有奇解
可化为变量可分离
- $\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$，令$u=ax+by+c$，则有$\frac{du}{dx}=a+bf(u)$
- 齐次型：可以整体换元的
一阶线性微分方程
对于$y’+py=q$，$y=e^{-\int pdx}[\int e^{\int pdx}\cdot qdx+C]$
lnu注意绝对值！一阶这里不加绝对值，其他时候加绝对值
例：求$y’+1=e^{-y}sinx$的通解
$e^y\cdot y’+e^y=sinx$，即$(e^y)’+e^y=sinx$
伯努利方程
- $y’+py=q\cdot y^n$
- $y’+py=q\cdot y^n$
3.二阶可降阶求解
- 缺y型：$y’’=f(x,y’)$，没有y，正常算y’，再求y
- 缺x型：$y’’=f(y,y’)$，没有x，
- 两种题型只是p代的形式不同
4.高阶
概念
- y’\y前面都是数字，是常系数
- 后面分离出y’’\y’\y，自由项恒为0则为齐次，否则非齐次
解的结构
两个线性无关的解，线性组合是通解
齐次通解 + 特解 = 非齐次特解。自由项可拆，特解相加
特解形式： $y’’+py’+qy=0$ 求$\Delta$，$y_{齐通}=\begin{cases} C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}&\Delta>0\\ (C_1+C_2x)e^{\lambda x}&\Delta=0\\ e^{\alpha x}(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)&\Delta<0 \end{cases}$
$\alpha$：解的实部；$\beta$：解的虚部
二阶常系数齐次线性-通解
二阶常系数非齐次线性-特解
n阶常系数齐次线性-解
十四、级数
1.常数项级数敛散性
正项级数：所有项非负
收敛原则：收敛$\iff$有上界
比较判别法
广义p-级数：$\sum\limits_2^\infty\frac{1}{n(ln\ n)^p}\;\;\;\begin{cases}p>1&收敛\\p\le1&发散\end{cases}$
比较判别法的极限形式
- 比值极限为A，A为常数二者同敛散
比值判别法（达朗贝尔）
- 通项后一项比它 求极限，极限<1收敛，>1发散，=1无法判别
- 通项里带n+1次方或者比值的时候好用
根植判别法（柯西）
- 开n次跟号，小于1收敛，大于1发散，等于1无法判别
- 次数越高越方便
交错级数
- 莱布尼茨判别法：通项绝对值单调不增，趋于0
- 造正负号，讨论单调性
任意项级数
- 绝对收敛：加绝对值后收敛
- 条件收敛：本身收敛，加绝对值后发散
- 看见平方项想到基本不等式！
2.幂级数
收敛域
阿贝尔定理：两个点单独讨论！
收敛域求法：$\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$，$R=\frac{1}{\rho}$
- $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=\rho，或者开n次跟号$，令其<1，得到的开区间就是收敛域。再判断端点
- 条件收敛的半径就是收敛半径
- 乘除因式$(x-x_0)^k$ 或者平移，半径不变
- 逐项求导，半径不变，收敛域可能缩小
- 逐项积分，半径不变，收敛域可能扩大
求和函数
运算法则
- 通项和下标都相同才能加减
- 通项下标一起变 $\sum\limits_{n=k}^\infty a_nx^n=\sum\limits_{n=k+l}^\infty a_{n-l}x^{n-l}$
- 只变下标：拆出来前n项
- 只变通项：提出来n次幂
重要展开式
做法：
先导后积（用变限积分避免+C）（n在分母上）
$\int_{x_0}^xS’(t)dt=S(t)|_{x_0}^x=S(x)-S(x_0)$ 因此 $S(x)=S(x_0)+\int_{x_0}^xS’(t)dt$。$x_0$通常选为中心点，好算
先积后导（n在分子上）
Abel变换：$\sum\limits_{n=1}^Na_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}(a_n-a_{n+1})B_n+a_nB_n$，其中$B_n=b_1+b_2+…+b_n$
函数展开成幂级数
- 求法
- 直接：麦克劳林公式展开
- 间接：利用已知展开式，变量代换、四则运算、求导积分、待定系数
- 求法
十五、数一数二专题
1.微分
物理应用
相关变化率：$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}$
例：
几何应用：曲率$k=\frac{|y’’|}{[1+(y’)^2]^\frac{3}{2}}$，曲率半径$R=\frac{1}{k}$
- 参数方程公式：$k=\frac{|y’’x’-y’x’’|}{(x’^2+y’^2)^\frac{3}{2}}$
2.积分
物理应用
抽水做功$W=x\cdot\int_a^b\rho gA(x)dx=\rho g\int_a^bxA(x)dx$
水压力$F=\int_a^b\rho gx\cdot[f(x)-h(x)]dx$
例：
几何应用
- 平面上的曲边梯形 形心坐标公式
- 平面曲线弧长
- 旋转曲面表面积
- 平行截面面积已知的立体体积
- 平面上的曲边梯形 形心坐标公式
3.欧拉方程
形如$x^2y’’+pxy’+qy=f(x)$。解法：x>0时令$x=e^t$，x<0时令$x=-e^t$，方程化为$y’’_t+(p-1)y’_t+qy=f(e^x)$。
4.傅立叶级数
$\begin{cases}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi}{l}xdx,&n=0,1,2…\\b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)sin\frac{n\pi}{l}xdx,&n=0,1,2…\\a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)dx\end{cases}$ - 定义域给一半，要求展开成正线级数或者余弦级数，按要求延拓再展开
十六、空间解析几何
1.向量
- 向量积：
- 混合积
- 方向角和方向余弦
2.平面与直线
平面方程
直线方程
点面距离：$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
点线距离：向量叉乘，得到向量的模长为平四面积
3.曲线与曲面
- 空间曲线在坐标面上投影：联立$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$，消去z得到$\phi(x,y)=0$，则投影为$\begin{cases}\phi(x,y)=0\\z=0\end{cases}$
4.曲面与曲面
二次曲面
- 椭球面
- 单叶双曲面
- 双叶双曲面
- 椭圆抛物面
- 椭圆锥面
- 双曲抛物面（马鞍面）
- 椭球面
柱面
旋转曲面：绕谁转谁不变，另一个字母写成另外两个字母的平方和开根号
例：
5.多元微分几何应用
- ==“切一刀，转一圈，投下来”==
- 曲线的切线与法平面
- 参数方程给出：三个参数方程求导就是切向量
- 交面式方程给出
- 曲面的切面与法线
- 隐式给出：曲面对xyz求偏导就是法向量
- 显式给出：
6.场论
- 方向导数
梯度点乘方向向量 - 散度旋度
十七、线面积分
1.三重积分
曲面积分是一个面，表达式只有等号，而三重积分是一个体，小于等于号
计算
基础方法
直角坐标系
先z后xy：有上下面，侧面没有或者是柱面
积分时候xy写前面，z写后面先积分，用z的上下限
先xy后z(定限截面法)：旋转体
柱面坐标系：一个定积分+极坐标系下的二重积分
球面坐标系：记得乘$r^2sin\phi$，$\begin{cases}x=rsin\phi cos\theta\\y=rsin\phi sin\theta\\z=rcos\phi\end{cases}$
技术方法
- 对称性
- 形心公式逆用：规则几何体的三重积分可以用形心和体积计算
2.一型曲线积分
- 概念性质
- 概念：沿着一条曲线路径进行定积分(ds)
- 概念：沿着一条曲线路径进行定积分(ds)
3.一型曲面积分
概念：密度不均匀曲面片的质量（dS）
计算
- 化为二重积分：
- 化为二重积分：
- 应用
- 几何量
- 面积：例：
- 面积：例：
- 转动惯量
- 空间物体：$I_x=\iiint_\Omega (y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv$。其他两个字母的平方和以及$\rho$来算三重积分
- 引力
- 空间物体：$F_x=Gm\iiint_\Omega\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{\frac{3}{2}}}d v$。下面分母是距离的三次方
- 几何量
4.二型曲线积分
概念性质
- 概念：$W=\int_{A\to B}Pdx+Qdy+rdz$ （有起点终点）
计算
化为定积分（参数方程）：它的对称性需要一点一点理解
对称性：
格林公式：封闭曲线，左手在区域内，PQ有一阶连续偏导
$\oint\limits_LPdx+Qdy=\iint\limits_D(Q_x-P_y)d\sigma$
==看好谁是P谁是Q！！==
例：注意看正负怎么取的
封闭曲线有三项的，可以考虑把一个变量用另外两个变量代替，从而消掉一项，剩下两项用格林
5.二型曲面积分
计算
- 化为二重积分（一投二代三计算）
- 坐标轴的正方向和规定的正向量方向成锐角则为正
- 高斯公式：封闭曲面，取外侧，PQR都有一阶连续偏导
- $\oint_{\sum_{外}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_\Omega(P_x+Q_y+R_z)dV$
- 化为二重积分（一投二代三计算）
空间第二型曲线积分计算：斯托克斯公式
把空间封闭曲线的二型线积分转换为绷在此环上任何一个面的一型面积分
公式
环的右手系确定向量方向，单位化就是行列式第一行
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